a为n阶可逆矩阵怎么证明 a为n阶可逆矩阵它的秩？

a为n阶可逆矩阵怎么证明

a为n阶可逆矩阵它的秩？

a为n阶可逆矩阵它的秩？

可逆,意味|A|不等于0,即A有n阶子式不等于0,说明其秩不小于n;而所有矩阵A的秩都不大于维数n,所以秩等于n。
A为n阶可逆矩阵，所以A的特征值中没有0，R(A)就是非零特征值的个数，当然R(A)n
A是非奇异矩阵的充分必要条件为A是可逆的。这个定理说明可逆矩阵的行列式肯定不等于0。还有一个定理：矩阵A的秩为r的充要条件是它有一个不为0的r阶子式，所有的r 1阶子式全为0，那么这个非零的r阶子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列向量组的极大线性无关组。综上所述，n阶可逆方阵的秩为n。

a为n阶可逆对称矩阵什么意思？

A是实对称矩阵，所以A的转置与A相等，然后同时对A和A的转置取逆，可证得A的逆也等于A的逆的转置，所以A的逆等于A的逆的转置乘以A再乘以A的逆，根据合同定义，得证。
对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯()引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
扩展资料
基本性质
1.对于任何方形矩阵X，X XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同

n阶矩阵可逆的充要条件是A可表示为一系列初等矩阵的乘积？

A可逆的充要条件:
1、|A|不等于0。
2、r（A）n。
3、A的列（行）向量组线性无关。
4、A的特征值中没有0。
5、A可以分解为若干初等矩阵的乘积。
矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。
扩展资料：
数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。