什么叫黎曼可积
达尔塔函数性质？
达尔塔函数性质？
定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。
证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N ），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x-x0时的极限为0。
推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。
推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）
证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
黎曼可积问题？
不一定，可以定义函数f(x),f :[0,1] -- R,
当x为有理数的时候，f(x)1,
而当x为无理数的时候，f(x)-1；
这样|f|(x)1,显然在[0,1]上黎曼可积；
而由于f(x)在[0,1]上处处不连续，每个点都是间断点，可知f(x)在[0,1]黎曼不可积。
可积不一定连续的例子？
f(1/n)1/n,n是自然数，其它值为0，则f在(0,1)上可积，积分为0。
还有一个更特殊的函数，黎曼函数，xp/q，p、q互素时，f(x)1/q，x是无理数时f(x)0。f(x)在无理数点处连续，有理数点处不连续。f(x)黎曼可积，任意区间上积分为0
举个简单的例子吧。
函数f（x）1（当0≤x＜1时），2（当1≤x＜2）时。
这个分段函数是不连续的。但是在定义域[0，2]这个区间，是可积分的。
什么数列求极限可以用定积分算？
定积分原则可以看作是一种特殊数列的极限，具体定义定积分前先确定一个概念——划分。
设有闭区间[a,b]和n 1个数x(0),x(1),...,x(n)，满足ax(0)ltx(1)(n)b，称此为一个划分P。此划分的n个子区间{[x(i-1),x(i)]|i1,2,...,n}中长度最大值λ(P)max{x(i)-x(i-1)|i1,2,...,n}称为划分P的参数。此外，若在划分P的n个子区间内任选n个数ξ(1),ξ(2),...,ξ(n)（ξ(i)∈[x(i-1)，x(i)],i1,2,...,n），则称此为带标志点的划分(P,ξ)。
现在对于闭区间[a,b]构造一个带标志点的划分序列{(P(k),ξ)|k1,2,...}，满足lim[k→∞]λ(P(k)) 0，即此划分序列{P(k)}的参数（子区间长度的最大值）趋于零。
至此便可定义黎曼和：
设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，对于上述带标志点划分序列中的某个划分(P(k),ξ)定义下式
S(k) ∑[i1,n] f(ξ(i))(x(i)-x(i-1))
为黎曼和。
如果对于任意满足lim[k→∞]λ(P(k)) 0的带标志点划分序列{(P(k),ξ)|k1,2,...}，相应的黎曼和数列{S(k)}存在极限S，即lim[k→∞] S(k) S，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上黎曼可极，S为函数f(x)在闭区间[a,b]上的黎曼积分（或称定积分）。记为
S ∫[a,b] f(x)dx
其中的a和b也称为定积分的下限和上限。
在上述定积分的定义中，标志点ξ是在相关子区间内任取的。如果取子区间内的函数最大点或最小点，则将得到两个特别的黎曼和，分别称为达布大和S(P)和达布小和s(P)。显然，若在原划分P的基础上增加划分点得新的划分P#39,相应的达布和满足下式。
s(P)≤s(P#39)≤S(P#39)≤S(P)
可见，对于参数趋于零的划分，达布和数列“单调有界”，其必有极限。
黎曼可积的充分必要条件是，对于参数趋于零的划分，达布大和数列的极限等于达布小和数列的极限。证明略。
由此可得推论，闭区间上的连续函数必定可积。
此外，适当放松上述条件有，闭区间上存在有限个间断点的有界函数必定可积。
至此，给出了定积分的详细定义和相关可积条件。
下面简单罗列一下定积分的一些性质
1）线性性
∫[a,b] (k1 f(x) k2 g(x))dx k1 ∫[a,b] f(x)dx k2 ∫[a,b] g(x)dx
2）乘积可积性
若f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上可积，那么其积f(x)g(x)在[a,b]上也可积。
3）保序性
若f(x)和g(x)在[a,b]上可积，且在[a,b]上有f(x)≥g(x)，则成立
∫[a,b] f(x)dx ≥ ∫[a,b] g(x)dx
4）绝对可积性
若f(x)在[a,b]上可积，则|f(x)|在[a,b]上也可积。
5）区间可加性
∫[a,b] f(x)dx ∫[a,c] f(x)dx ∫[c,b] f(x)dx
6）积分第一中值定理
设f(x)和g(x)都在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上不变号，则存在η∈[m,M]，使得
∫[a,b] f(x)g(x)dx η∫[a,b] g(x)dx
其中M和m分别是f(x)在[a,b]的上下确界。
如果f(x)在[a,b]上连续，则有
∫[a,b] f(x)g(x)dx f(ξ)∫[a,b] g(x)dx
其中ξ∈[a,b]
最后给出微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹定理
设f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数（即d/dx F(x) f(x)），则成立
∫[a,b] f(x)dx F(b) - F(a)
微积分基本定理建立了定积分和不定积分的关系，也给计算定积分提供了一个方法。
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