数列中已知An
数列中已知An 1和An的关系，求通项公式，例题？
1和An的关系，求通项公式，例题？
问:已知数列的递推式(及初始项或约束项)求通项这类问题的基本思想.
答:
高中课程中,主要讲等差数列,等比数列;复杂的问题,也通过转化为这两者来解决.
可以看到,等差数列,等比数列的递推式:AnA(n-1) d;AnqA(n-1),均是一阶递推关系(阶数:即式中未知项的下标差),其一般形为An xA(n-1) y0.也可转化为如下(*1)
可以通过简单的转化,求得An xA(n-1) y0型递推关系的解,即求得通项An.例：
已知：xa(n)＝ya(n-1)＋z （*1）
问：如何构造出等比数列，从而求出通项a(n)
解：设xa(n)-uv(xa(n-1)-u) （*2）
与xa(n)＝ya(n-1)＋z比较，得
vx＝y，u-uv＝z
解之得：v＝y/x，u＝z/(1-v)＝xz/(x-y)
对于z为n的函数的情况,参见此处回答后给出的链接.
如果是a(n 1),a(n),a(n-1)三者的线性关系,称之为二阶线性递推式.
对于二阶递推式,可以转化为一阶关系来求解.这正与我们研究二次方程时将它转化为两个一次方程一样.正鉴于此,人们在此基础上进一步总结,最后脱离了转化过程,象下围棋的定式一般,总结到了方法,得到了公式,于是就有了特征根法,等等.
为什么用矩阵乘法算斐波那契数比较快，和用f[n]f[n-1] f[n-2]的时间复杂度有差？
直接用线性递推来求f[n]复杂度是O(n)，更适合求所有的f[1]到f[n]如果用矩阵乘法来算的话计算K^n只有O(log n)的复杂度，只需要求出某个特定的f[n]时就占优了
什么是行列式的递推公式？
行列式递推公式是DnaDn-1，行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|，是基本的数学工具。另外行列式还可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广，或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
一阶线性递推公式？
一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
1.
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为0．
2.
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
3.；
这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式.
例1已知数列中，,求的通项公式．
解析：解法一：转化为型递推数列．
∵∴又，故数列｛｝是首项为2，公比为2的等比数列．∴，即．
解法二：转化为型递推数列．
∵2xn-1 1(n≥2)①∴2xn 1②
②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x2-x12，公比为2的等比数列，即，再用累加法得．
解法三：用迭代法．
当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
例2已知函数的反函数为
求数列的通项公式.
解析：由已知得，则．
令,则.比较系数，得.
即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．
评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．
（4）
若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.
（5）；
这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.
例3设数列求数列的通项公式．
解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．
例4设求数列的通项公式．
解析：设用代入，可解出．
∴是以公比为-2，首项为的等比数列．
∴，
即．
（6）
这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列
例5设数列求数列的通项公式．
解析：由可得
设
故即用累加法得
或
例6在数列求数列的通项公式．
解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．
令使数列是以 为公比的等比数列(待定)．
即∴对照已给递推式， 有即的两个实根．
从而
∴①
或②
由式①得；由式②得．
消去．
例7在数列求．
解析：由①，得②．
式② 式①，得，从而有．∴数列是以6为其周期．故-1．
三、特殊的n阶递推数列
例8已知数列满足，求的通项公式．
解析：∵ ①
∴ ②
②－①，得．∴故有
将这几个式子累乘，得
又
例9数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．
解析：由 ①，得 ②．
式①－式②，得，或，故有.
∴,.
将上面几个式子累乘，得，即．
∵也满足上式，∴