行列式有什么实际用处
什么矩阵需要行和列同时变换？
什么矩阵需要行和列同时变换？
行列式中是可以同时行变换和列变换同时使用的。
矩阵的初等变换不能同时行变换和列变换同时使用的。
在使用时候，还是要分场合进行讨论：
1、求矩阵的秩可以行初等变换和列初等变换混用，因为“经初等变换矩阵的秩不变”。（一定要用可逆变换，否则至少自己保证安全性。）
2、对于行列式求值而言，可以随便使用行变换和列变换，以及其它手段。行列式的计算只要得出结果出来就行了，是否使用哪种方法要结合行列式乘积定理来理解。
3、如果是解线性方程组只能用初等行变换，才能保证同解。
4、如果求矩阵的逆矩阵也只能用初等行变换。
5、解方程组Axb，那么两种变换都可以用，但不是无条件的。比如行变换就要同时作用于系数矩阵和右端项，列变换则需要保留信息，以便最后求解的时候用。
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行列式的本质是解决什么问题？现实本质是什么？
这种问题很难讲，线性代数只是一套记号系统，很多问题当中都会产生出矩阵和行列式，所以你很难说哪个来源才是真正的本质
当然，如果为了比较深入地理解矩阵和行列式，我建议从线性映射（或变换）的几何意义入手
比如说，考虑R^n上的线性变换，yf(x)Ax，那么det(A)具有（有向）体积比的意义，也就是说，x的某个邻域U在这个映射下得到的像V（V是y的某个邻域）之间的有向体积的比det(A)vol(V)/vol(U)，这里U和V的体积都带有定向
你在某些场合可能会看到行列式表示n维平行多胞体的有向体积，这和上述讲法是相容的，你可以理解为A的列恰好表示单位向量（单位阵I的列，也就是单位立方体的边）在映射A下的像，从而A把单位立方体映射到一个平行多胞体，两者的体积比就是那个平行多胞体的体积，如果det(A)lt0则表示中间出现了左右手系的切换
行列式的很多性质（比如行列式在错切变换下不变，交换两列时变号，以及行列式乘积定理det(AB)det(A)det(B)，Cramer法则等）都可以用几何意义来理解
另外，上述解释不仅适用于线性变换，对于比较光滑的非线性变换yf(x)而言，Jacobi行列式的意义也是这样解释（映射前后体积微元的体积比），线性变换的Jacobi矩阵是常数矩阵，所以整套系统其实都是一回事