微分方程求通解特解的公式
如何求微分方程通解？
如何求微分方程通解？
先求齐次方程特解，再求非齐次方程通解
二阶线性微分方程的特解公式？
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y#39#39 py#39 qyf(x)，其特解y*设法分为：1.如果f(x)P（x），Pn（x）为n阶多项式；2.如果f(x)P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。
1二阶常系数齐次线性微分方程
标准形式
y″ py′ qy0
特征方程
r^2 pr q0
通解
1.两个不相等的实根：yC1e^(r1x) C2e^(r2x)
2.两根相等的实根：y(C1 C2x)e^(r1x)
3.一对共轭复根：r1α iβ,r2α-iβ：ye^(αx)*(C1cosβx C2sinβx)
2特解y*设法
1、如果f(x)P（x），Pn（x）为n阶多项式。
若0不是特征值，在令特解y*x^k*Qm(x)*e^λx中，k0，λ0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。
比如如果Pn（x）a（a为常数），则设Qm(x)A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）x，则设Qm(x)ax b；如果Pn（x）x^2，则设Qm(x)ax^2 bx c。
若0是特征方程的单根，在令特解y*x^k*Qm(x)*e^λx中，k1，λ0，即y*x*Qm(x)。
若0是特征方程的重根，在令特解y*x^k*Qm(x)*e^λx中，k2，λ0，即y*x^2*Qm(x)。
2、如果f(x)P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。
若α不是特征值，在令特解y*x^k*Qm(x)*e^αx中，k0，即y*Qm(x)*e^αx，Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。
若α是特征方程的单根，在令特解y*x^k*Qm(x)*e^αx中，k1，即y*x*Qm(x)*e^αx。
若α是特征方程的重根，在令特解y*x^k*Qm(x)*e^λx中，k2，即y*x^2*Qm(x)*e^αx。
3、如果f(x)[Pl（x）cos(βx) Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。
若α±iβ不是特征值，在令特解y*x^k*[Rm1(x)cos(βx) Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k0，mmax{l,n}，Rm1(x)与Rm2(x)设法要根据Pl（x）或Pn（x）的情况而定（同Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定的原理一样）。
即y*[Rm1(x)cos(βx) Rm2(x)sin(βx)]e^αx
若α±iβ不是特征值，在令特解y*x^k*[Rm1(x)cos(βx) Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k1，即y*x*[Rm1(x)cos(βx) Rm2(x)sin(βx)]e^αx。