柯西收敛准则和柯西收敛定理
柯西审敛原理通俗解释？
柯西审敛原理通俗解释？
柯西审敛原理：数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当mN,nN时就有|Xn-Xm|ε。
这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε。
注意：柯西收敛原理标明，由实数构成的基本数列一定存在实数极限，这个性质被称为是实数系的完备性。但是要注意有理数集不具备完备性。
高等数学中的“收敛”是什么意思？
收敛是一个数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。函数收敛：柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b0,存在c0,对任意x1,x2满足0
利用cauchy收敛原理证明单调有界数列必定收敛？
单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论,而柯西收敛准则则以另一种形式表这了这一结论。本文就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。
如果Xn∈R并且d(Xn,Xn 1)≤d(Xn-1,Xn)/2。
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有一正整数N，当m,nN时，有|xn-xm|
函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有Z属于实数，当x,yZ时，有|f(x)-f(y)|
证明举例：
证明：xn1-1/2 1/3-1/4 ...... [(-1)^(n 1)]/n 有极限
证：对于任意的m,n属于正整数，mn
|xn-xm|| [(-1)^(n 2)]/(n 1) ...... [(-1)^(m 1)]/m |
当m-n为奇数时 |xn-xm|| [(-1)^(n 2)]/(n 1) ...... [(-1)^(m 1)]/m |
（1/n-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |x珐长粹短诔的达痊惮花n-xm|| [(-1)^(n 2)]/(n 1) ...... [(-1)^(m 1)]/m |
(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有一正整数N，当m,nN时，有|xn-xm|