如何证明三角形有一个内角小于60
在三角形ABC内至少有一个内角大于或等于60°吗？
在三角形ABC内至少有一个内角大于或等于60°吗？
证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A ∠B ∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
为什么在一个三角形中至少有一个角大于或等于60°？
我们知道：在平面几何（欧式几何）中，三角形内角和为 180°。于是对于任意 ?ABC，有：
∠A ∠B ∠C 180° ①
假设 ?ABC 的三个（内）角都小于 60°，即，令:
∠A 60° - a, ∠B 60° - b, ∠C 60° - c ②
其中 a, b, c gt 0 ③
将 ② 中各等式 代入 ①，有：
60° - a 60° - b 60° - c 180°
化简得到：
a b c 0 ④
可是根据 ③ 可以得出 a b c gt 0 这与 ④ 矛盾，因此 假设不成立，故：
?ABC 的三个（内）角不能都小于 60°，即，至少有一个（内）角要大于等于 60°。
在非欧几何中，设 M 是 二维（黎曼）流形，M 的高斯曲率 是 K，则 根据 Gauss-Bonnet 公式，可以推导出： 对于 M 中 的任意（侧地）三角形 ?ABC 有，
即，?ABC 的内角和 是 180° 加上 黎曼曲率 K 在 ?ABC 围成区域 上的 积分。
当 K 0 时，M 就是平面（欧氏几何），这时 积分为 0，于是：∠A ∠B ∠C 180°；
当 K lt 0 时，M 就是罗式几何，这时 积分小于 0，于是：∠A ∠B ∠C lt 180°；
当 K gt 0 时，M 就是黎式几何，这时 积分大于 0，于是：∠A ∠B ∠C gt 180°；
因此，在非欧几何中，只有当 高斯曲率 K 大于等于 0 时，前面的结论才成立。