几何重数与代数重数之间的关系
代数基本公理？
代数基本公理？
代数学基本定理说明，任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根。
由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。
有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根。
这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。
为什么矩阵的几何重数小于等于代数重数？
恒有此关系： 几何重数 ≤ 代数重数几何重数：在矩阵运算中，该矩阵有特征值是重根，则该特征值所对应的特征向量所构成空间的维数，称为几何重数。（举例：一条直线与一个圆相切，那么切点的几何重数就是二，如果三条直线相交在一点，那么交点的几何重数就是三）代数重数：指方程的根的重数，也就是说，方程的根是几重根。（举例：(x-2)^30，这个方程的根为x2，这个根是3重的，因此x2的代数重数为3）
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代数基本定理重要性？
任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。 据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。
二重特征值与秩的关系？
如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了。
为讨论方便，设A为m阶方阵。
证明：设方阵A的秩为n。
因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如：
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
扩展资料
若a是矩阵A的特征值，则其（代数）重数等于n-r((aE-A)^n)，几何重数（即特征子空间维数）等于n-r(aE-A)。
注1：r((aE-A)^n)表示aE-A的n次幂的秩；
注2：该结论可利用A的Jordan标准型得到。
矩阵A的相似对角矩阵的主对角元都是矩阵A的特征值，又因为矩阵A的秩与它的相似对角阵的秩相等，因此，如果矩阵A的秩为n，那么它就有n个非零特征值。