证明二元函数不存在的方法
证明二元函数极限不存在的方法总结？
证明二元函数极限不存在的方法总结？
二元函数在某点处极限（即二重极限）的定义比一元函数极限定义“苛刻”得多，因此二重极限不存在的情形也比一元函数极限不存在的情形更加复杂。证明二元函数在某点处极限不存在是高等数学中“多元函数微分”部分的一种基本题型，本节通过例题来介绍证明此类问题的常见方法。
1、证明二重极限不存在的方法概述。
2、证明沿不同直线极限值不相等。
3、证明沿不同曲线极限值不相等。
4、对例2的评注（二重极限存在性的深入理解）。
5、证明两个累次极限都存在但不相等。
二元函数不是凸函数的例子？
凹函数
：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1 x2)/2][f(x1) f(x2)]/2
则称f(x)在[a，b]上是凹的。
函数图形：弧段像∪形的，比如yx^2的函数.
凸函数
：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1 x2)/2][f(x1) f(x2)]/2
则称f(x)在[a，b]上是凸的。
函数图形：弧段像∩形的，比如y-x^2的函数.
f(x)lgx是凸函数,根据
函数图象
判断.一般开口向下的
二次函数
是凸函数,开口向上的二次函数是凹函数。
如何证明二重函数可微？
具体证明步骤如下：
证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：
若zf(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f、f,且它们在点M处连续,则zf(x,y)在点M可微。
证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0θ,θ1,α0,
△zf(x △x,y △y)-f(x,y)
[f(x △x,y △y)-f(x,y △y)] [f(x,y △y)-f(x y)]
f(x θ△x,y △y)△x f(x,y θ△y)△y
[f(x,y) α]△x [f(x,y) β]△y
f(x,y)△x f(x,y)△y α△x β△y
而||≤|α| |β|,
所以△zf(x,y)△x-f(x,y)△y o(ρ),即f(x,y)在点M可微。
注意:定理4的逆定理不成立。即:偏导数存在且连续是可微的充分非必要条件。
例如:f(x,y)(x y)sin (x y≠0)0 (x y0),
因为f(0,0)0,同理:f(0,0)0,所以f(x,y)在(0,0)点的偏导数存在。
又f(x,y)2xsin (x y)cos(x y≠0)0 (x y0)
所以f(x,y)(2xsin-cos),
其中2xsin0,
而 cos中,若取路径yx,
显然coscos不存在,所以f(x,y)不存在。
因此f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在但不连续。
而 (△x △y)sin0,所以f(x,y)在(0,0)点可微。