抽象代数中域的特征值是什么
外代数那些内容看不懂？
外代数那些内容看不懂？
（小石头尝试着来回答这个问题！）
设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，定义在 V 上的 r（≥ 1）元函数 f: V? → K，如果，对于每个参数都可以保持 线性运算（称为 线性性），即，（对于任意 x, y ∈ V, k ∈ K, 1 ≤ i ≤ r ）
f(x1, ..., x? x y, ..., x?) f(x1, ..., x, ..., x?) f(x1, ..., y, ..., x?)
f(x1, ..., x? kx, ..., x?) kf(x1, ..., x, ..., x?)
则，称 f 是 r元线性函数。
一般，称 1元线性函数 为 （单）线性函数， 2元线性函数 为 双 线性函数，2元以上的线性函数 为 多线性函数。
给定任意 r ≥ 0，将 全体 r 元 线性函数，记为 V?，这里规定 V? K，即，0 元线性函数 就是 K 中的 常数。
注意：V? V* 是 V 的对偶空间。关于 对偶空间 的详细介绍可以参考 小石头的另一个回答：怎么形象地理解对偶空间？
在 V? 上定义 线性运算（对于任意 f, g ∈ V?, k ∈ K）：
加法：(f g)(x1, ..., x?) f(x1, ..., x?) g(x1, ..., x?)
数乘：(kf)(x1, ..., x?) kf(x1, ..., x?)
则 V? 构成一个线性空间。
我们 也将 V? 中的 r元线性函数 称为 r阶（协变）张量，对于 任意 张量 f ∈ V? 和 g∈ V? 可以定义 一种积运算：
(f ? g)(x1, ..., x? , x??1, ..., x???) f(x1, ..., x?)g(x??1, ..., x???)
称 ? 为张量积。
显然，对于 每个参数 1 ≤ i ≤ r ，f ? g 满足线性性，因为：
(f ? g)(x1, ..., x? x y, ..., x?, x??1, ..., x???) f(x1, ..., x? x y, ..., x?)g(x??1, ..., x???) (f(x1, ..., x, ..., x?) f(x1, ..., y, ..., x?))g(x??1, ..., x???) f(x1, ..., x, ..., x?)g(x??1, ..., x???) f(x1, ..., y, ..., x?)g(x??1, ..., x???) (f ? g)(x1, ..., x, ..., x?, x??1, ..., x???) (f ? g)(x1, ..., y, ..., x?, x??1, ..., x???)
(f ? g)(x1, ..., x? kx, ..., x?, x??1, ..., x???) f(x1, ..., x? kx, ..., x?)g(x??1, ..., x???) kf(x1, ..., x, ..., x?)g(x??1, ..., x???) k(f ? g)(x1, ..., x, ..., x?, x??1, ..., x???)
对于 每个参数 r 1 ≤ i ≤ r u，f ? g 也满足多线性性（原因和上面类似），故，f ? g ∈ V??? 是一个 r u 阶 张量。
如果，令 G V? ∪ V? ∪ ? ，则 ? 在 G 中封闭，是 G 上的二元运算 ?: G×G → G。
同时，我们将 上面 V? 中定义加法运算扩展到 G 上：对于 张量 f ∈ V? 和 g∈ V? ，不妨设 r lt u，则可以令，
f(x1, ..., x?, 0, ..., 0) f(x1, ..., x?)
其中，u-r 个 0。于是 f ∈ V? ，这样 利用 V? 的加法运算，得到新的定义：
(f g)(x1, ..., x?, ..., x?) (f g)(x1, ..., x?, ..., x?) f(x1, ..., x?, 0, ..., 0) g(x1, ..., x?, ..., x?) f(x1, ..., x?) g(x1, ..., x?, ..., x?)
注意：这里并没有 将 V? 中数乘运算 引入 G，因为： kf k?f，f ∈ V?，k ∈ K V? 。
这样 G 上就同时具有 加法 和 张量积 ? 两种运算，并且具有如下性质（对于任意 f, g, h ∈ G）：
加法 结合律：((f g) h))(...) (f g)(...) h(...) (f(...) g(...)) h(...) f(...) (g(...) h(...)) f(...) (g h)(...) (f (g h))(...)；
加法 交换律 (f g)(...) f(...) g(...) g(...) f(...) (g f)(...) ；
张量积 结合律：((f ? g) ? h))(...) (f ? g)(...)h(...) (f(...)g(...))h(...) f(...)(g(...)h(...)) f(...) (g ? h)(...) (f ? (g ? h))(...)；
分配律：
((f g) ? h)(...) (f g)(...)h(...) (f(...) g(...))h(...) f(...)h(...) g(...)h(...) (f?h)(...) (g?h)(...)；
((f ? (g h)(...) f(...) (g h)(...) f(...)(g(...) h(...)) f(...)g(...) f(...)h(...) (f?g)(...) (f?h)(...)；
考察 ? 的交换律，对于 k ∈ V? R 和 任意 f ∈ V? 来说，? 是满足交换律的：
(k?f)(x1, ..., x?) kf(x1, ..., x?) f(x1, ..., x?)k (f?k)(x1, ..., x?)
但，对于 任意 f ∈ V? (r ≥ 1) 和 g ∈ V? (u ≥ 1)，有，
(f ? g)(x1, ..., x?, x??1, ..., x???) f(x1, ..., x?)g(x??1, ..., x???) g(x??1, ..., x???)f(x1, ..., x?) (g ? f)(x??1, ..., x???, x1, ..., x?)
而，交换律要求满足：
(f ? g)(x1, ..., x?, y1, ..., y?) (g ? f)(x1, ..., x?, y1, ..., y?)
所以，? 不一定满足交换律，除非满足条件 ①：
(g ? f)(x??1, ..., x???, x1, ..., x?) (g ? f)(x1, ..., x?, y1, ..., y?)
设，ω? {1, 2, ..., r}，则可以定义双射 s: ω? → ω?，称 s 是 ω? 的一个置换，我们将，ω? 的所有 置换 组成的集合，记为 Ω?。
每个 置换 s ∈ Ω? 都对应 一个 ω? 的全排列： s(1)s(2)?s(r) 。
考虑 r 和 u 的任意性，上面的条件 ① 等价于 条件 ①：对于任意 f ∈ V?，s ∈ Ω?，都有，
f(x1, x2, ..., x?) f(x??1?, x??2?, ..., x????)
称 满足这样条件的函数 为 对称函数。
一般的 线性函数 f 是 不满足上面条件的，但我们可以 将 f 的 所有 参数置换后 的函数 进行算术平均，得到一个新函数：
抽象数是什么意思？
抽象数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。伽罗瓦（1811 ~ 1832）在1832年运用「群」的概念彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的概念的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解代数方程的学科转变为研究代数运算结构的学科，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。