橡皮泥甜甜圈制作教程
数学中有哪些最复杂的领域或最抽象的领域，复杂或抽象到什么程度？
数学中有哪些最复杂的领域或最抽象的领域，复杂或抽象到什么程度？
说一个最前沿的数学领域—拓扑斯理论，以下是我根据材料整理出来的。
拓扑，也称“橡皮泥几何学”，这个称呼其实很形象。在数学家眼里，带距离的叫几何。不带距离的，就是拓扑。所以数学家们常常也说几何的东西有某种“刚性”，而拓扑则相对“软”一点。
拓扑研究的物体，不关心长度。在拓扑学家眼里，假如忽略篮球的打气孔，一个篮球和一个乒乓球其实没区别，但是篮球和救生圈就很不一样。我想大家也能感受出它们的区别来，非要描述，可能会说，救生圈中间有个洞，篮球和乒乓球就没有。
拓扑学家干的事情其实没有很高大上，他们只是把简单的“洞”“不一样”，用数学的语言描述了出来。
拓扑关心的事情叫做同胚。这其实是个很形象的词：一块泥胚，你可以用手把它做成一个甜甜圈，也可以做成一个烟斗。烟斗和甜甜圈都是同一个泥胚在不撕裂的情况下捏出来的，所以叫做同胚，非常形象生动。
拓扑关心所谓的拓扑分类，同胚的东西在拓扑学家眼里就是一样的。这也就是那个著名的烟斗和甜甜圈的故事。
1、拓扑斯理论来源
拓扑，是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。
在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f v-e2。
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
1、什么是拓扑？
拓扑是个数学概念，它不仅仅只是一个学科的名字。它的数学含义是，拓扑定义了一个空间内所有的开集。
学过一点数学的人可能会问：开集不是都定义好了么，比如实数轴上的开区间就是开集，闭区间就是闭集。拓扑怎么还“定义”开集？难道它还能指着闭区间说这是开集？
Exactly，拓扑就是个教你做人的……额不，教你什么是开集的东西。
数学家最喜欢抽象和推广，从现实世界的一个两个抽象出1，2，3，从现实世界的几何抽象出欧式几何等等。拓扑就是一般开集概念的推广。数学家们想，凭什么我只能管开区间叫开集？我能不能管闭区间也叫开集？我能不能管左开右闭区间也叫开集？然后发现：好像没人说不可以啊，那我们就这么叫叫看，结果就叫出了拓扑学。
既然啥都能叫开集，那我们显然不能狭隘的再用开区间的观点去看了，所以我们要从哲学意义重新讨论一下，什么是开集？
什么是开集？开集是用来描述点和点之间的亲疏关系的。假如两个点同时在很多个开集里，说明它俩离的比较近。就比如实数里的开区间，假如两个数离的比较近，感觉上有更多的开区间同时包含这两个数。你就想，长度大于1的开区间很有可能盖住0和1，但是长度大于10000的才有可能盖住0和10000，所以感觉上0和1应该更亲近一点。
所以知道了拓扑，就知道了这个空间的开集（哲学的说，就知道了这里面点的亲疏关系）。以前，大家看到的是一片点，不分彼此。现在，我们有了拓扑，你就可以看到亲疏、远近了。是不是结构一下子就丰富起来了？
就像以前我们只有一班的名单，现在我们知道一班里每个人的之间的关系：张三和李四是好朋友，李四和赵六是死对头，这样我们就可以更合理的安排座位，管理班级了。所以有了拓扑，我们就可以干很多事情了！比如
有了拓扑，我们可以定义闭集、紧集。
有了拓扑，我们可以定义什么是一个集合的内部，什么是一个集合的闭包，什么是一个集合的边界。
最后说几个拓扑的例子吧。首先是大家最熟悉的实数集，它上面的开集大家都很熟悉，就是开区间和它们的并们，这些集合组成这个空间的拓扑。这样的拓扑称为欧氏拓扑。
第二个是对于任何一个空间，我们定义它的拓扑里只有两个元素：全空间和空集。这个意思就是说，这个空间的子集假如是个开集，要么它是空集，要么它是全空间。我们可以看到这样的空间里，点和点之间都不分彼此，随便一个点的邻域（包含这个点的开集）只能是全空间。这样的拓扑称为平凡拓扑。
最后一个是对于任何一个空间，我们定义它的拓扑为所有的子集。意思是说，这个空间里任何一个子集，都是开集（包括全空间和空集）。这个空间里的点相互之间都很冷漠，因为我们总可以取 某个点本身 这个子集（注意，它是开集），这个子集作为这个点的邻域，它不含任何其他点。这样的拓扑称为离散拓扑。
如果说平凡拓扑是集体宿舍，那离散拓扑就是单身公寓。
备注：以上均来源于网络，如侵权删。
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