黎曼求和法
海绵弯曲，弯曲部分被空气充满，请问时空弯曲的时候充满弯曲部分的是什么？
海绵弯曲，弯曲部分被空气充满，请问时空弯曲的时候充满弯曲部分的是什么？
先来说一说几何学或广义相对论中空间弯曲的基本定义，再来看看如何形象的理解空间弯曲。
按照几何学，如果空间中两点之间的距离公式符合勾股定理，则空间就是平直的，否则，空间就是弯曲的。二维平直空间中的两点间的距离公式，即勾股定理，可以写为：ds^2dx^2＋dy^2，其中，dx，dy和ds分别是在x方向、y方向及两点连线的方向上的距离测量值的微分。在黎曼几何中，二维的弯曲空间中的两点之间的距离公式被写成如下的通用形式：ds^2r11dx^2＋r12dxdy＋r21dydx＋r22dy^2＝rijdxidxj，式中，r11、r12等等以及后面的rij都是各个微分项的系数，11、12等等以及ij均为下标。如果r11＝r22＝1，r12＝r21＝0，该式就变成了平直空间中的勾股定理。如果空间是弯曲的，则这几个系数不仅不为0，而且还有可能是坐标x、y的函数，即rijrij(x、y），随地点x、y的不同而变化。最后的那个写法叫作“爱因斯坦惯例”，是一种简化写法，它省略了求和，但是已事先约定，这种写法中凡是重复出现的指标都要求和（逆变和协变等概念我这里就不讲了）。在三维平直空间中，两点之间的距离公式就是ds^2dx1^2＋dx2^2＋dx3^2，三维弯曲空间中两点之间的距离公式，我就直接按照“爱因斯坦惯例”写出，为ds^2rijdxidxj，不过，下标i、j要从1开始一直取到3。如果因为我描述不清而没看懂，也不要紧，只要记住，如果空间中两点之间的距离符合勾股定理，则空间就是平直的，否则，空间就是弯曲的。这就是空间平直和弯曲的基本定义。
所以，我们所在的空间究竟是平直还是弯曲的，需要经过实测才能确定，实测发现空间中两点之间的距离符合勾股定理，则我们所在的空间就是平直的，否则，就是弯曲的。
下面再来看看如何形象的理解空间弯曲。
球面就是一个弯曲的二维空间，在球面上，勾股定理不能成立。同样，任何一个任意弯曲的面，都是一个弯曲的二维空间。有人说，球面，显然是一个三维空间中的几何结构，而且，在这个三维空间中，三维的勾股定理是成立的，空间是平直的。这样理解也没有错，这相当于说，球面，可以无变形的镶嵌进平直的三维空间中。但是，生活在球面上的智慧生物，他们认识不到第三维的存在，但他们也能在球面上进行测量，并发现，他们所在的二维空间中，勾股定理不能成立，他们是生活在一个弯曲的二维空间中。在平直的三维空间中，能够描述这个球面，但是，仅使用二维空间，但增加一个“弯曲”的概念，用弯曲的二维空间这个概念，也能描述球面。空间究竟有几维，就看空间中两点之间的距离公式中（不论是勾股定理还是ds^2rijdxidxj），独立变量xi的个数有几个。如果用平直的三维空间来描述弯曲的二维平面，则增加了一个维度，增加的东西就大多了。用弯曲的二维空间来描述球面，我们不需要增加一个维度，仅仅需要增加“弯曲”这个概念就可以了。
二维空间的弯曲，可以用一个三维平直空间中的一个曲面来形象的理解，但三维空间的弯曲该怎样形象的理解呢？同样，要形象的描述三维空间的弯曲，就需要一个平直的四维空间，用这个平直的四维空间作参照，才可画出三维空间的弯曲。弯曲的三维空间，其实只是平直的四维空间中的一个几何体的“表面”，就像弯曲的二维空间，如那个球面，只是平直的三维空间中的一个球体的表面一样，但我们不是生活在四维空间中，无法画出一个四维空间中的几何体。所以，我们无法形象的理解三维空间的弯曲，无法画出三维空间的弯曲。同样，我们更无法形象的理解“四维时空”的弯曲，无法画出一个弯曲的“四维时空”。
要理解三维空间的弯曲，四维时空的弯曲，最好还是按空间弯曲的基本定义来理解，即，如果实测发现勾股定理成立，则我们所在的空间就是平直的，否则，就是弯曲的。
最后，连接一篇我关于广义相对论中的四维时空弯曲的一个观点。
_articleampapp_id13ampshare_ansid6678649022888018180
n的平方分之一数列，怎么求和？
有啊，怎么没有公式？这个和被称之为黎曼泽塔函数(Riemann Zeta(ζ) function)。指数为2时，和是 Σ_(1