罗尔定理基础知识
罗尔定理解法？
罗尔定理解法？
罗尔定理
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 Mm，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 Mgtm，则因为 f(a)f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间(a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f(ξ)0。
另证：若 Mgtm ，不妨设f(ξ)M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f(ξ )lt0，f(ξ-)gt0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
罗尔定理的应用？
1691年，法国数学家罗尔在《任意次方程的一个解法的证明》一文中指出：在多项式方程f(x)0的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根.这是最原始的罗尔定理，也是现在看到的罗尔定理的特例.
1846年，意大利数学家贝拉维蒂斯将这一定理推广到可微函数，并将此定理命名为“罗尔定理”。
罗尔定理在负无穷到正无穷区间的推广？
罗尔定理的大前提是闭区间[a,b]上连续，开区间[a,b]内可导，如果题干没有给出这两个条件那么你就得自己证！ 如果可以求出f(x)的导函数是存在的，那么就满足条件啦，因为可导一定连续。如果又f(a)f(b)，这样之后才可以用罗尔定理。拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，大前提是一样的，也得证可导
罗尔定理经典例题？
①若要证明 ,则考虑直接使用罗尔定理，无需构造辅助函数。
例：
设 (其中 均为常数)，证：方程 在 内至少有一个解。
思路：经过端点的带入尝试，你会发现无法直接找到函数的零点，因此我们选择求其原函数的两个零点，从而达到我们想要的效果。
解： 令 。
由罗尔定理可得： 即原方程至少存在一个解得证。
②若要证明 ,则考虑构造辅助函数 ,然后使用罗尔定理即可。
此方法可以用来证明拉格朗日中值定理，具体证明见中值定理基础篇。
③若要证明 或者 ,则考虑多次使用罗尔定理。
例1：
设 三阶可导， ,证明:
解:
由于 ,所以由罗尔定理可得： .
因此，可以得到 ，进行两次罗尔定理可得 。 最后，再对 使用一次罗尔定理可得 ，由此得证。
例2：
设 上三阶可导， ,证明:
思路：虽然这道题没有足够多的零点，但是函数是具体的，可以自行求导寻找零点和驻点。
解：由于 使用罗尔定理可得 。
由 可得： 对 使用罗尔定理可得 ,由此得证。
例3：
设 二阶可导， ,证明:
思路：要求二阶导为0，则需要三个 零点，题目已经给出两个，因此我们只需要从第三个条件中推出一个零点即可。
解：不妨假设，
又由于 在 上二阶可导， 由零点定理
到此，我们得到了三个零点，反复使用罗尔定理就可以得到所证结论。
例4：
设 在 上连续,且 证明： 在 内至少有两个零点。
常见的错误解法：直接使用积分中值定理
错解： ,从而由此得到 两个零点，但是实际上这是错误的，因为我们无法确定 与 是否相等。 正确解法：
思路：既然我们无法直接找到函数的两个零点，那么我们可以退而求其次的找其原函数的三个零点，从而达到我们想要的效果。 解：令 ,则 .
由于 再由积分中值定理得 。到此我们得到了三个零点，只需反复使用罗尔定理，就可以得到需证结论。