多元函数的极值和最值求法总结
函数的极值和最大值，最小值有什么区别和联系？
函数的极值和最大值，最小值有什么区别和联系？
极值与最值的区别与联系：区别在于二者概念不同。极值是与它的两侧相比，大于两侧是极大值，小于两侧是极小值；最值则是函数在定义域或指定区间内的最大最小值。除特定函数，两者无必然联系。
在有些情况下，函数有极值但没有最值，有些情况下有最值，但没有极值。
极值定理？
问题中的极值定理是指已知x、y都是正数,x yS,xyP。 (1)如果S是定值,那么当xy时,P的值最大; (2)如果P是定值,那么当xy时,S的值最小。
函数的极值不仅是反映函数性态的一个重要特征，而且在解决实际问题中也占有极其重要的地位。很多经济和生活中的问题都可以转化为数学中的函数极值问题进行讨论，从而得到该问题的最优方案。
在微积分中，极值定理是指如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。
b^2-ac判断极值的方法
二元函数极值的充分条件：
f(x,y)f(x0,y0) △x f_x#39(x0,y0) △y f_y#39(x0,y0) 1/2[(△x)2f_xx#39#39 (ξ,η) 2△x △y f_xy#39#39(ξ,η) (△y)2 f_yy#39#39(ξ,η)]f(x0,y0) 1/2[(△x)2f_xx#39#39 (ξ,η) 2△x △y f_xy#39#39(ξ,η) (△y)2 f_yy#39#39(ξ,η)]→f(x0,y0) 1/2[A(△x)2 2B△x △y C(△y)2 ]B2-AC＜0时，中括号内符号恒定不变。Alt0时,中括号内恒为负数，此时为极大值点。也就是说，在(x0,y0)邻域内，任意变动△x,△y,都会导致函数值变小，因此(x0,y0)是极大值点。Agt0时,中括号内恒为正数，此时为极小值点。B2-ACgt0时，中括号内符号不确定，因此不是极值点。B2-AC0时,中括号内大于等于0，可能是极值点，也可能不是极值点
求极值的一般步骤：
1、找到等式f#39(x)0的根
2、在等式的左右检查f#39(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。
3、判断f#39(x)无意义的点。首先可以找到f#39(x)0的根和f#39(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。
4、函数zf(x,y)的极值的方法描述如下：
(1)解方程式fx(x,y)0，fy(x,y)0，求一个实数解，可以求所有的塞音；
(2)对于每个停止点(x 0,y 0)，找到二阶偏导数的值a,b,c；
(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x 0,y 0)是一个最大值、最大值还是最小值。
上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(x, y)不可导时，这些点当然不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。